По словам Шевалле, алгебра играет по отношению к математике такую же роль, которую сама математика играет по отношению к физике. Она изучает общие структуры, возникающие в самых различных областях математики и общие процедуры вычислений в них. Многие классические такие структуры исторически возникли в теории чисел и алгебраической геометрии, в частности при изучении решений систем уравнений, скажем в комплексных или целых числах. Перечислим некоторые области алгебры, в которых в настоящее время в Санкт-Петербурге ведутся особенно интенсивные исследования.

Алгебраические группы

Теория линейных алгебраических групп, являющаяся современным этапом развития теории классических групп и теории Ли, изучает группы матриц, в первую очередь простые группы (линейные, симплектические, ортогональные, унитарные) и близкие к ним. Санкт-Петербург является одним из ведущих мировых центров в области структурной теории алгебраических групп над общими полями и коммутативными кольцами, в особенности теории исключительных групп.

В данном направлении работают Н.А. Вавилов, Н.Л. Гордеев, В.А. Петров, А.К. Ставрова и А.В. Степанов.

Алгебраическая K-теория

Возникшая в начале 1960-х годов в работах Гротендика, Басса и Милнора и получившая в дальнейшем замечательное развитие в работах Квиллена, Суслина и других классиков, алгебраическая K-теория связывает с кольцами новый тип инвариантов, значения K-функторов, которые измеряют, насколько ответы на классические вопросы линейной алгебры отличаются от известных ответов над полями.

В данном направлении работают Н.А. Вавилов, А.С. Ананьевский, А.К. Ставрова и А.В. Степанов.

Алгебраическая геометрия

Исторически алгебраическая геометрия возникла из изучаения структуры решений систем алгебраических уравнении. Над полем такие решения образуют то, что принято называть алгебраиченскими многообразиями. Начиная с 1950-х годов под влиянием классических задач теории чисел и других важных приложений стали широко изучаться решения систем уравнений над произвольными коммутативными кольцами и связанные с ними общие алгебраические и геометрические структуры, такие как схемы, мотивы, алгебраические пространства и т.д.

В данном направлении работают А.С. Ананьевский, М.В. Бондарко, В.А. Петров и А.К. Ставрова.

Гомологическая алгебра

Гомологичексая алгебра связывает с различными ситуациями новые инварианты такие как группы гомологий и когомологий и т.д., измеряющие то, насколько ответы на различные естественные вопросы отличаются от классически известных или ожидаемых. В Санкт-Петербурге особенно широко представлено изучение когомологий колец, исторически теснейшим образом связанное с теорией представлений конечных горупп и ассоциативных алгебр.

В данном направлении работают А.И. Генералов, М.А. Антипов и Ю.В. Волков.

Теория групп

Группы являются одной из важнейших классических структур алгебры. В Санкт-Петербурге представлены исследования по широкому спектру различных конкретных групп, возникающих в арифметических и геометрических приложениях, таких как конечные, арифметические, и различные группы геометрического происхождения, заданные образующими и соотношениями, такие как группы Кокстера, группы кос и т.д.

В данном направлении работают Н.А. Вавилов, М.А. Всемирнов, Н.Л. Гордеев и А.В. Малютин.

Теория чисел и арифметическая геометрия

Алгебраическая теория чисел изучает строение колец похожих на кольцо целых чисел и кольца, естественно возникающиепри этом, такие как кольца целых p-адических чисел. При этом кроме собственно алгебраических методов широко применяются и различные аналитические (комплексный и гармонический анализ и т.д) и геометрические методы (алгебраическая геометрия, арифметическая геометрия, геометрия чисел и т.д.).

В данном направлении работают М.В. Бондарко, С.В. Востоков, М.А. Всемирнов и И.Б. Жуков.