Санкт-Петербург, 199178, Россия, 14-ая линия Васильевского острова, дом 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru

Алгебраическая К-теория

2019 – 2020, VI, VIII семестр

Информация по курсу

Известно, что над полем все модули свободные, а все матрицы с определителем один приводятся к единичной элементарными преобразованиями. Алгебраическую К-теорию можно рассматривать как теорию, изучающую отклонение от этих свойств над произвольным кольцом. Именно, функтор $K_0(R)$ описывает проективные модули над кольцом $R$ (с точностью до стабильной эквивалентности), а функтор $K_1(R)$ может быть определен как фактор (бесконечной) полной линейной группы $GL(R)$ по элементарной подгруппе $E(R)$ (которая совпадает с коммутантом $GL(R)$). Следующий функтор $K_2(R)$ описывает
неочевидные соотношения между элементарными трансвекциями и бывает нетривиальным даже для поля.

С другой стороны, $K_0(R)$ описывает векторные расслоения над спектром $R$ в смысле алгебраической геометрии, и аналогично по теореме Суона $K_0(C(X))$ описывает векторные расслоения над хаусдорфовым топологическим пространством $X$. А для дедекиндова кольца $K_0(R)$ (почти) совпадает с группой классов идеалов $R$. Тем самым, алгебраическая K-теория имеет приложения и в алгебраической геометрии, и в алгебраической топологии, и в теории чисел. Некоторые из таких приложений будут изучаться в курсе.