Saint Petersburg, 199178, Russia, Line 14th (Vasilyevsky Island), 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru en

Алгебраическая К-теория

2019 – 2020, VI, VIII семестр

Информация по курсу

Известно, что над полем все модули свободные, а все матрицы с определителем один приводятся к единичной элементарными преобразованиями. Алгебраическую К-теорию можно рассматривать как теорию, изучающую отклонение от этих свойств над произвольным кольцом. Именно, функтор K_0(R) описывает проективные модули над кольцом R (с точностью до стабильной эквивалентности), а функтор K_1(R) может быть определен как фактор (бесконечной) полной линейной группы GL(R) по элементарной подгруппе E(R) (которая совпадает с коммутантом GL(R)). Следующий функтор K_2(R) описывает
неочевидные соотношения между элементарными трансвекциями и бывает нетривиальным даже для поля.

С другой стороны, K_0(R) описывает векторные расслоения над спектром R в смысле алгебраической геометрии, и аналогично по теореме Суона K_0(C(X)) описывает векторные расслоения над хаусдорфовым топологическим пространством X. А для дедекиндова кольца K_0(R) (почти) совпадает с группой классов идеалов R. Тем самым, алгебраическая K-теория имеет приложения и в алгебраической геометрии, и в алгебраической топологии, и в теории чисел. Некоторые из таких приложений будут изучаться в курсе.