Saint Petersburg, 199178, Russia, Line 14th (Vasilyevsky Island), 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru en

Алгебры Ли

2020 – 2021, VI семестр

Информация по курсу

Алгебры Ли — это алгебры, в которых умножение не ассоциативно, а удовлетворяет тождеству Якоби

    \[[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0\]

Примером могут служить векторы в трехмерном пространстве с операцией векторного произведения. Если A — ассоциативная алгебра, то ее можно рассмотреть как алгебру Ли с операцией скобки Ли [x,y]=xy-yx. Другим примером служит алгебра дифференцирований (не обязательно ассоциативной) алгебры: заметим, что хотя композиция двух дифференцирований не будет
дифференцированием, скобка Ли определена корректно. Алгебры Ли возникают в самых разных областях математики, но наиболее тесным образом связаны с группами Ли и алгебраическими группами. Дело в том, что на касательном пространстве к группе Ли можно завести структуру алгебры Ли, причем сама группа по этой алгебре Ли почти восстанавливается (с точностью
до компоненты связности и накрытия). Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 совпадает с классификацией простых алгебраических групп и описывается четырьмя классическими сериями A_n, B_n, C_n, D_n и пятью исключительными алгебрами Ли E_6, E_7, E_8, F_4 и G_2. Этот результат будет доказан в курсе.


Программа курса