Санкт-Петербург, 199178, Россия, 14-ая линия Васильевского острова, дом 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru en

Уравнения в частных производных и математическая физика

Математическая физика представляет собой раздел математики, занимающийся анализом корректности моделей физических явлений. Большинство законов природы описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Изучение математической корректности различных задач для уравнений в частных производных подразумевает исследование вопросов существования и единственности решений, а также получение по возможности максимально полной информации о качественных свойствах решений. Современная теория уравнений в частных производных использует широчайший спектр методов и активно взаимодействует со многими другими областями математики, среди которых можно отметить классический и функциональный анализ, дифференциальную геометрию, теорию динамических систем и многие другие разделы математики.

Теория регулярности

Теория регулярности исследует гладкость (то есть наличие или отсутствие особенностей) решений нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных. Типичной ситуацией для скалярных уравнений эллиптического и параболического типа при гладких данных является отсутствие особенностей как таковых (решения таких уравнений являются гладкими функциями — этот вопрос в свое время был сформулирован Гильбертом в качестве одной из 23 его знаменитых проблем). В случае систем это уже не так, и решения нелинейных эллиптических систем могут оказаться негладкими даже при гладких данных задачи. Другой пример возникновения особенностей у решений — формирование ударных волн в законах сохранения, а также распространение особенностей начальных данных гиперболических уравнений вдоль характеристик. Наличие или отсутствие у решения сингулярных точек является важной характеристикой решений и, как правило, так или иначе связано с интереснейшими физическими явлениями.

В данном направлении работают Н.Д. Филонов и Т.Н. Шилкин.

Эволюционные уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных эволюционного типа можно интерпретировать как динамические системы для функций, принимающих значения в некотором бесконечномерном (банаховом) пространстве. Поэтому при изучении таких уравнений трудности классической теории динамических систем тесно переплетаются с содержательными вопросами топологии и функционального анализа. Основными вопросами, подлежащими изучению, являются вопросы существования и единственности решений при тех или иных условиях на начальные данные, а также устойчивость решений и их поведение при больших временах. В абстрактной форме теория эволюционных уравнений может рассматриваться как раздел функционального анализа (теория полугрупп), однако учет конкретной специфики тех или иных эволюционных задач, возникающих в математической физике, оказывается чрезвычайно важным и позволяет существенно «продвинуть» теорию (в частности, потому, что конкретные модели математической физики, как правило, обладают дополнительными свойствами — законами сохранений, группами симметрий итд). К задачам эволюционного типа относится широкий круг моделей, начиная с классических волнового уравнения и уравнения теплопроводности и заканчивая одной из наиболее знаменитых моделей современной теории уравнений в частных производных — системой уравнений Навье-Стокса.

В данном направлении работают Н.Д. Филонов и Т.Н. Шилкин.

Спектральная теория

Спектральная теория дифференциальных операторов рассматривает параметрическое семейство дифференциальных операторов и исследует, при каких значениях параметра соответствующее уравнение имеет «особенное» решение, то есть решение, обладающее теми или иными «нестандартными» свойствами. (Таким свойствми могут быть: быстрое убывание на бесконечности, ограниченность итд). В конечномерном случае спектром линейного оператора является конечный набор собственных значений оператора. В бесконечномерном случае (то есть для дифференциальных операторов) картина становится значительно сложнее и интереснее — помимо точечного спектра у оператора может появиться т.н. непрерывный и остаточный спектры. Спектр линейного оператора является важнейшей характеристикой, позволяющей судить о свойствах самого оператора. Это оказывается крайне важным для приложений, поскольку во многих практических задачах наблюдатель располагает информацией именно o спектре оператора, но не о самом операторе. Спектральная теория дифференциальных операторов теснейшим образом связана с такими разделами математической физики как квантовая механика и квантовая теория поля.

В данном направлении работает Н.Д. Филонов.