Динамические системы и дифференциальные уравнения — раздел математики, изучающий модели структур, изменяющихся с течением времени. Этот раздел возник как часть классического математического анализа, но к настоящему времени это область математики, интенсивно использующая методы алгебры, геометрии, топологии, теории вероятностей.

Локальная и глобальная качественная теория

Качественная теория динамических систем и дифференциальных уравнений изучает структуру траекторий как в окрестности инвариантных множеств (например, неподвижных точек и периодических траекторий), так и во всем фазовом пространстве. Важным разделом качественной теории является классическая теория устойчивости движения. Большой интерес представляет изучение инвариантных множеств со сложной структурой (хаотических инвариантных множеств).

В данном направлении работают С.Г. Крыжевич, С.Ю. Пилюгин и С.Б. Тихомиров.

Теория возмущений

Теория возмущений изучает эволюцию качественной структуры траекторий динамической системы при изменении уравнений, определяющих динамику. Важной задачей является задача о структурной устойчивости системы (т.е. о сохранении топологической структуры траекторий во всем фазовом пространстве при малых изменениях системы). Рассматриваются также малые разрывные возмущения, соответствующие, например, замене точной динамической системы ее аппроксимацией при компьютерном моделировании.

В данном направлении работают С.Г. Крыжевич, С.Ю. Пилюгин и С.Б. Тихомиров.

Эргодическая теория

Эргодическая теория изучает поведение инвариантных мер динамической системы. Один из основных объектов изучения — энтропия системы, характеризующая сложность динамики. Это направление тесно связано с методами теории вероятностей.

В данном направлении работают С.Г. Крыжевич и С.Б. Тихомиров.