Исторически геометрия изучает форму и взаимное расположение предметов в евклидовом пространстве. В современной геометрии понятие «пространства» значительно шире и означает множество, снабжённое той или иной специальной структурой — например, проективное пространство, риманово пространство, топологическое пространство. Изучение простейшей весьма общей структуры, позволяющей говорить о непрерывности, привело к выделению из геометрии большой самостоятельной части математики — топологии.

Дифференциальная и метрическая геометрия

Классическая дифференциальная геометрия изучает гладкие геометрические объекты (например, римановы многообразия), наиболее интересными в ней являются связи между «микроскопическими» свойствами пространств и их глобальным строением. Метрическая геометрия — собирательное название нескольких направлений, изучающих негладкие пространства с более «грубыми» структурами (например, метрические пространства), геометрия которых в том или ином смысле похожа на классические пространства. Сюда относятся пространства Александрова, гиперболические группы и другие классы пространств.

В данном направлении работают С.В. Иванов и Н.Д. Лебедева.

Конфигурационные пространства и пространства модулей

Конфигурационные пространства и пространства модулей возникают в математике в самых разных задачах. Традиционно (и заслуженно) интересны пространства модулей алгебраических кривых с отмеченными точками, пространства Тейхмюллера, конфигурационные пространства шарнирных механизмов, конфигурационные пространства выпуклых многогранников и точечных конфигураций и др. Имеется ряд открытых разнообразных задач: об универсальности конфигурационных пространств, о вычислении (ко)гомологий, о нахождении экстремальных конфигураций, о клеточных (или симплициальных) моделях. Тема является наукоемкой: для занятий ею приветствуются знания гиперболической геометрии, алгебраической топологии (необходимо), теории Морса, алгебраической геометрии.

В данном направлении работают П.Г. Зограф, Г.Ю. Панина, Н.С. Калинин.

Топология многообразий

Топология многообразий малой размерности занимает особое место в современной геометрии и топологии. Это вызвано тем, что большинство мощных методов многомерной топологии не работают в размерностях 3 и 4. Вопросы классификационного характера являются стержневыми для геометрической топологии. Существенная часть исследований в трехмерной топологии XX в. была мотивирована, прямо или косвенно, стремлением решить именно классификационные проблемы, к которым относятся, в частности, доказанные Перельманом гипотеза Пуанкаре и геометризационная гипотеза Терстона. Достигнутый за последние годы серьезный прогресс в данной проблематике тем не менее оставляет открытыми многие классические вопросы, сохраняющие свою актуальность.

В данном направлении работают Е.А. Фоминых и А.В. Малютин.

Теория узлов

Узлы — это гладкие вложения окружности (одномерной сферы) в трехмерную сферу. Теория узлов имеет богатейшую историю и применяется во многих областях математики, в криптографии, физике, химии, биологии. К примеру, с помощью узлов можно описать любое трехмерное многообразие или изучать квантовую теорию поля, а заузленность молекулы полимера может влиять на ее свойства. Сверхзадача теории – задача эффективной классификации и распознавания узлов — до сих пор не получила удовлетворительного решения. Поиски этого решения с рекордной частотой приводят к революционным открытиям (гиперболические узлы и терстоновская классификация, полиномиальные инварианты, инварианты конечной степени и т.д.), но главные вершины, по-видимому, еще не покорены.

В данном направлении работают А.В. Малютин и Е.А. Фоминых.