Санкт-Петербург, 199178, Россия, 14-ая линия Васильевского острова, дом 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru en

Математический анализ и теория вероятностей

— Математический анализ —

Математический анализ изучает функции вещественной или комплексной переменных, функциональные пространства, операторы на них.

Комплексный анализ

Комплексный анализ занимается изучением свойств аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных, конформных и квазиконформных отображений. В основном изучаются пространства аналитических функций с воспроизводящим ядром (пространства Пэли-Винера, де Бранжа, Фока и др.) и свойства систем из воспроизводящих ядер в этих пространствах (задачи полноты, базисности, и т.д.). Особое внимание уделяется связи теории пространств де Бранжа с теорией канонических систем.

В данном направлении работают А.Д. Баранов, Ю.С. Белов, Р.В. Бессонов, Р.В. Романов и Е.С. Дубцов.

Теория операторов

Теория операторов изучает свойства линейных (не обязательно непрерывных) отображений между нормированными пространствами. Особое внимание уделяется функциональным моделям абстрактных операторов в духе Секефальви-Надя и Фояша. Например, моделям возмущений конечного ранга самосопряженных и унитарных операторов.

В данном направлении работают А.Д. Баранов, Р.В. Бессонов, Р.В. Романов и В.В. Капустин.

Гармонический анализ

Гармонический анализ занимается изучением разнообразных интегро-дифференциальных операторов на функциональных пространствах, в том числе сингулярных интегральных и псевдодифференциальных операторов. Один из основных инструментов исследования — преобразование Фурье и его обобщения.

В данном направлении работают С.В. Кисляков, В.И. Васюнин, Д.М. Столяров и П.Б. Затицкий.

— Теория вероятностей —

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайные явления, формы и процессы. Отличается богатством связей с другими разделами математики (особенно с математическим и функциональным анализом, математической физикой и др.), а также моногообразием практических приложений.

Случайные процессы

Теория случайных процессов изучает случайные величины, зависящие от некоторого параметра — момента времени, точки в пространстве и т.п. Существует широкая гамма случайных процессов: процессы с независимыми приращениями, стационарные, марковские, диффузионные, гауссовские и т.д. Для каждого класса процессов существует широкая область применения и разрабатываются свои специфические методы исследования.

В данном направлении работают Ю.А. Давыдов, М.А. Лифшиц, М.В. Платонова и Ю.П. Петрова.

Предельные теоремы

Предельные теоремы теории вероятностей обычно описывают ситуацию, когда при определённом взаимодействии большого числа независимых или слабозависимых случайностей (например, при суммировании независимых случайных величин) возникает универсальный вероятностный объект. К предельным теоремам относятся также результаты об ассимптотическом поведении вероятностей редких событий (теория больших и малых уклонений). Предельные теоремы являются важнейшим способом выражения фундаментальных вероятностных закономерностей и имеют множество полезных применений в прикладных областях.

В данном направлении работают Ю.А. Давыдов, М.А. Лифшиц, Ю.В. Якубович, М.В. Платонова и Ю.П. Петрова.

Стохастическая геометрия

Стохастическая геометрия изучает случайные обьекты геометрической природы, например, случайные выпуклые множества, случайные многогранники, точечные случайные процессы и т.п. В последнее время это направление активно развивается благодаря многочисленным приложениям в телекоммуникационных сетях, в статистической физике, молекулярной биологии, стереологии, пространственной статистике, астрофизике и т.д.

В данном направлении работают Ю.А. Давыдов и Д.Н. Запорожец.

Асимптотическая вероятностная комбинаторика

Комбинаторные объекты, такие как перестановки, разбиения, графы и т.п., имеют естественное понятие размера, и можно ставить вопрос о поведении таких объектов при росте их размера. Оказывается, что для многих из них действительно имеет место аналог закона больших чисел: почти все объекты больших размеров имеют в каком-то смысле близкую структуру. Изучение таких результатов, а также вопросов об отклонениях от предельной структуры, составляет ветвь математики на стыке теории вероятностей, комбинаторики и анализа.

В данном направлении работает Ю.В. Якубович.