Типичная задача экстремальной теории множеств звучит следующим образом. Дано семейство множеств, не содержащее подсемейств определённого вида. Насколько большим может быть такое семейство? В этой лекции мы обсудим задачи о семействах с запрещёнными пересечениями. Мы обсудим последние продвижения в этих вопросах, и в частности технику разреженных приближений, недавно разработанную докладчиком в соавторстве с Дмитрием Захаровым.