Санкт-Петербург, 199178, Россия, 14-ая линия Васильевского острова, дом 29
(812) 363-68-71, (812) 363-68-72
ru

Зимняя студенческая школа по математике и теоретической информатике

Школа проводится совместно СПбГУ и НИУ ВШЭ. Цель школы: осветить различные направления современной математики и теоретической информатики. Мы приглашаем студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также выпускников программ бакалавриата, планирующих продолжить изучение теоретической математики.

 

Когда: 29 января – 1 февраля 2020 г.
Где: факультет математики и компьютерных наук СПбГУ, Санкт-Петербург, 14-я линия В.О., д. 29.

 

Если Вы хотите принять участие в школе, то заполните анкету. Участникам будут оплачены дорога и проживание. Количество мест ограничено, и мы заранее приносим извинения за то, что не сможем одобрить все поданные заявки. Дэдлайн подачи заявок продлён до 15 января 2020 г.

 

Расписание школы доступно по ссылке.

 

По любым вопросам проведения школы обращайтесь к Алине Анатольевне Загороднюк – chebyshev.msc@gmail.com.

 

Список миникурсов:

 

1. Ю.С. Белов, СПбГУ – Анализ сигналов

Предположим, что функция (сигнал) имеет ограниченный спектр, т.е. преобразование Фурье имеет компактный носитель. Тогда согласно знаменитой теореме отсчетов Шеннона-Котельникова-Уиттекера ее можно полностью восстановить по значениям в некоторой арифметической прогрессии. При этом норма L^2 функции (энергия сигнала) контролируется l^2 нормой значений. Такие множества называются множествами сэмплинга.

Мы обсудим множества сэмплинга для различных классов сигналов (функций), а также способы восстановления функции по ее значениям в дискретном множестве. Особый интерес представляет случай когда спектр неограничен, но имеет конечную меру.

 

2. В.А. Гриценко, Университет Лилля, НИУ ВШЭ – Решетки Нимейера и автоморфные формы

Существует всего одна четная унимодулярная положительно определенная решетка ранга 8 — решетка E_8. В размерности 16 их уже две: 2Е_8 и D_{16}^+. В размерности 24 можно построить ровно 24 четных унимодулярных решетки. Этот факт былустановленнемецким математиком Niemeier’ом в 1973 году. В 1979 году замечательный петербургский математик Борис Борисович Венков предложил элегантное автоморфное доказательство результата Нимейера, которое сильно повлияло на дальнейшее развитие теории квадратичных форм.

В первой части курса мы разберем конструкции решеток Нимейера, используя технику корневых решеток A_n и D_n (хорошо известных из теории алгебр Ли) вместе с теорией конечных квадратичных дискриминантных форм. Единственная бескорневая унимодулярная решетка ранга 24, решетка Лича, является одним из самых интересных комбинаторных и геометрических объектов современной математики. С ней связаны простые группы Матьё и Конвея, коды Голея, системы Штайнера, наиплотнейшая упаковка шарами 24-x мерного евклидова пространства (2016), функция Борчердса Ф_{24}, Fake Monster Lie Algebra, ….

Во второй части курса мы дадим краткое введение в теорию модулярных форм и форм Якоби от многих переменных в контексте теории целочисленных квадратичных форм.

Заключительным примером будет автоморфное произведение Борчердса Ф_{24}, объединяющее все решетки Нимейера в рамках «простейшей» автоморфной функции от 26 переменных. Это будет приглашением в теорию аффинных и лоренцевых алгебр Каца-Муди.

 

3. А.В. Дымов, МИАН, НИУ ВШЭ – Марковские стохастические системы и перемешивание

Рассмотрим какую-нибудь физическую систему, динамика в которой описывается системой дифференциальных уравнений. Например, это может быть система твердых тел, подверженных действию каких-нибудь сил, или, скажем, озеро – в этом случае вместо обыкновенных дифференциальных уравнений возникают дифференциальные уравнения с частными производными. Часто оказывается разумным (или даже необходимым) добавить в систему случайное возмущение, например, чтобы смоделировать действие на систему сил, неучтенных моделью, которые учесть другим образом оказывается невозможным или слишком сложным. В примере с озером это может быть слабый ветер, порывами действующий на поверхность озера. Получающиеся уравнения называются стохастическими дифференциальным уравнениями (СДУ). Они играют центральную роль в различных областях, от метеорологии и до финансовой математики.

СДУ обладают важными особенностями, не присущими детерминистским системам. Так, при разумных условиях часто оказывается, что система стремится к равновесному состоянию, которое не зависит от начального состояния системы. Другими словами, при времени, стремящемся к бесконечности, распределение решения сходится к единственной стационарной мере – этот эффект называется перемешиванием. Основная цель данного курса — обсудить математику, связанную с этим эффектом.

 

4. Н.С. Калинин, СПбГУ – Песочная модель

Песочная модель представляет собой связный граф, в вершинах которого лежат песчинки. Как только число песчинок в вершине v становится больше или равно числу рёбер, выходящих из v, эта вершина отдаёт каждой из соседних вершин по одной песчинке, такая операция называется обвалом. Хотя бы одна вершина в графе объявляется стоком: там мы обвалов не делаем, можно считать, что все песчинки, туда попадающие, исчезают из системы. Несложно показать, что из любой начальной конфигурации песчинок в вершинах операциями обвалов можно прийти к стабильной конфигурации — где обвалов сделать более нельзя — и что эта финальная конфигурация определена однозначно.

Песочная модель была придумана несколько раз в разных контекстах и таит множество открытых вопросов с красивыми картинками.

 

5. А.С. Куликов, СПбГУ, ПОМИ – Задача выполнимости: теория и практика

Мы познакомимся с задачей выполнимости — одной из самых важных трудно решаемых задач. Разберём основные методы решения задачи выполнимости (как в теории, так и на практике): метод расщепления, локальный поиск, случайные блуждания. Узнаем, как эта задача связана с другими известными вычислительными задачами: например, ускорить классический квадратичный по времени алгоритм для расстояния редактирования не проще, чем ускорить полный перебор для задачи выполнимости. Наконец, увидим, насколько эффективны SAT-солверы (задачи для решения задачи выполнимости) на практике: вместе решим несколько сложных комбинаторных задач при помощи таких программ.

 

6. М.Э. Казарян, МИАН, Сколтех – Характеристические классы и перечисление особенностей

Представленный курс лекций можно рассматривать как практическое введение в теорию характеристических классов с приложениями к перечислительной проективной геометрии. Классическая перечислительная геометрия, произошедшая из исчисления Шуберта, занимается подсчетом количеств геометрических объектов (многообразий, конфигураций, отображений и т.п.) с предписанными вырождениями в полном семействе объектов. В лекциях мы приведем подход к такого рода задачам, основанный на принципе существования универсальных многочленов Тома, связанных с локальными особенностями, а также их аналогов для мультиособенностей. Эффективность такого подхода к задачам исчислительной геометрии достигается благодаря его универсальности и большому разнообразию методов.